Tiro parabólico. Deducción de las fórmulas a partir de derivadas

En este apartado se deducirán las fórmulas que se utilizan clásicamente para calcular los movimientos uniformes (v=constante, es decir, a=0) y los uniformemente acelerados (a=constante), mediante el uso de las derivadas. Para ello se partirá simplemente de las definiciones de aceleración y velocidad:

a=dv/dt      v=dx/dt

Comenzaremos con el caso de aceleración constante, puesto que como se verá posteriormente el caso de velocidad constante es un caso particular de este. En primer lugar utilizamos la definición de aceleración:

a = dv/dt  =>  a·dt = dv

Se trata de una ecuación diferencial de variables separadas que se resuelve haciendo la integral de los dos miembros:

 ∫ a·dt =  ∫ dv  => (a=constante) => a·  ∫ dt =  ∫ dv  => a · t + C1 = v

C1 es una constante de integración, y para determinar su valor sustituiremos para el caso de t=o

v(0) = a·0 + C1 = C1

Es decir, la constante de integración es la velocidad en el instante inicial que denotaremos como Vo. Por tanto hemos obtenido la primera ecuación que buscábamos:

V(t) = Vo +  a · t

A continuación utilizaremos la definición de velocidad:

v = dx/dt  =>  v·dt = dx

Igual que en el caso anterior se trata de una ecuación diferencial de variables separadas que resolveremos integrando los dos miembros:

∫ v·dt =  ∫dx  => (sustituyendo el resultado anterior) =>  ∫(vo + a·t)dt =  ∫dx =>  ∫vo dt +  ∫a·t dt =  ∫dx

Resolviendo nos queda: